5.5. Oddziaływanie wirującej materialnej kuli z elementem materii lub przestrzeni

Kula o masie porusza się po okręgu o środku i promieniu z prędkością kątową . W odległości od punktu w punkcie znajduje się punkt materialny o masie .

Rys. 5.5.1.

Jeżeli kula znajduje się punkcie , to oddziałuje z punktem materialnym tak, jak gdyby znajdowała się w punkcie , ze względu na skończoną prędkość grawitonów. Kula przejdzie z punktu do w czasie

 

 

potrzebnym grawitonom na przebycie odległości od do . W tym czasie promień wodzący kuli obróci się o kąt, którego miara jest równa

 

.

Kąt

.

 

Odpowiednio dla kąt

.

Jeżeli kąt wzrośnie o

 

,

 

to odpowiednio kąt wzrośnie o

 

w czasie

.

 

Podczas przejścia kuli z do do punktu materialnego przekazywany jest pęd

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Składowa wektora równoległa do osi jest równa

 

.

 

Podczas jednego obiegu okręgu przez kulę do punktu materialnego, ze względu na obecność kuli, zostanie przekazany pewien pęd a jego składowa równoległa do osi jest równa

 

.

 

 

Podstawmy nową zmienną

 

.

 

 

Oznaczmy

i

.

 

 

Pierwsza całka jest równa zero, ponieważ funkcja podcałkowa jest nieparzysta.

 

 

Stosując całkowanie przez części otrzymujemy.

 

 

 

 

Podczas jednego obiegu kuli po okręgu składowa pędu równoległa do osi przekazana do punktu materialnego jest równa

 

.

 

Jeden obieg jest wykonywany w czasie .

 

Średnia siła działająca na punkt materialny równolegle do osi jest równa

 

.

 

Istnienie tej siły jest skutkiem skończonej prędkości rozchodzenia się oddziaływania grawitacyjnego, za pośrednictwem grawitonów. Z tego powodu czas oddalania się punktu od punktu materialnego jest dłuższy niż czas jego zbliżania. Miara kąta rośnie proporcjonalnie do czasu, natomiast miara kąta nie, ze względu na okresową zmianę odległości punktu od punktu . Podczas oddalania do punktu materialnego przekazywany jest pęd o zwrocie zgodnym ze zwrotem osi , podczas zbliżania pęd o zwrocie przeciwnym. Ponieważ

 

,

więc

i

.

 

Kula o masie porusza się po okręgu o środku i promieniu , w płaszczyźnie prostopadłej do osi , z prędkością kątową . W odległości od początku prostokątnego układu współrzędnych , na osi , w punkcie znajduje się punkt materialny o masie .

 

Rys. 5.5.2.

 

 

 

 

Podczas przejścia kuli z do do punktu materialnego przekazywany jest pęd

 

,

 

a jego składowa równoległa do osi jest równa

 

.

 

Podczas jednego obiegu okręgu przez kulę do punktu materialnego zostanie przekazana składowa

 

 

Podstawmy nową zmienną

.

 

 

Oznaczmy

i

.

 

 

 

Średnia siła działająca na punkt materialny równolegle do osi jest równa

 

.

 

Zamiast kuli weźmy cienki pierścień o masie , promieniu , obracający się z prędkością w płaszczyźnie prostopadłej do osi dookoła punktu .

Składowa siły działającej na punkt materialny w wyniku obrotu pierścienia jest określona takim samym wzorem jak w przypadku kuli, ale w tym przypadku pozostaje taka sama w każdej chwili.

Weźmy jednorodną materialną kulę o środku w punkcie , promieniu , masie i gęstości , obracającą się z prędkością kątową dookoła osi w zwrocie od dodatniej części osi do dodatniej części osi . Na zewnątrz kuli, w punkcie na osi znajduje się punkt materialny o masie . Wszystkie te wartości są mierzone przez obserwatora znajdującego się blisko punktu . Dla uproszczenia zapisu układ współrzędnych obserwatora został przesunięty tak, że pokrywa się z układem . W kuli wycinam pierścień o osi , ograniczony płaszczyznami prostopadłymi do osi i przechodzącymi przez punkty o współrzędnych i , o promieniach i , szerokości i grubości . Objętość tego pierścienia

 

a jego masa

.

 

Pierścień wiruje z prędkością kątową .

Rys. 5.5.3.

Pierścień działa na punkt materialny pewną siłą, której składowa równoległa do osi jest równa

 

.

 

Składowa siły z jaką kula oddziałuje na punkt materialny, równoległa do osi jest równa

 

.

 

 

 

Podstawiając nową zmienną

 

,

 

,

 

otrzymujemy

 

.

 

 

 

 

Ponieważ funkcja podcałkowa jest parzysta, więc

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Dla

mamy

.

 

Po podstawieniu i wykonaniu odpowiednich działań otrzymujemy.

 

 

 

 

Na element materii lub przestrzeni o masie , znajdujący się w punkcie działa siła

 

,

 

prostopadła do wektora w płaszczyźnie równikowej kuli.

Siła ta powoduje, że swobodne cząstki przestrzeni znajdujące się blisko kuli poruszają się dookoła kuli zgodnie z jej obrotem. W ten sposób moment pędu kuli jest przenoszony do przestrzeni i kula stopniowo zmniejsza swoją prędkość kątową, w stosunku do cząstek przestrzeni. Przestrzeń dookoła kuli zyskuje pewien moment pędu, który poprzez wzajemne oddziaływanie cząstek przestrzeni rozprasza się w całej przestrzeni. Po bardzo długim czasie kula będzie nieruchoma w stosunku do cząstek przestrzeni, jeżeli w tym czasie nie oddziałuje z cząstkami materii. Pochłanianie materii przez kulę może zmienić jej pęd.

Cząstki przestrzeni oraz cząstki materii znajdujące się blisko takiej kuli zyskują dodatkowy moment pędu zgodny z momentem pędu kuli. Największy moment pędu jest przekazywany do tych cząstek, które są najbliżej kuli.

Dla Ziemi siła

,

 

działająca na ciało o masie , znajdujące się w odległości dwóch promieni Ziemi od jej środka, jest równa

 

.

 

Odpowiednio przyspieszenie uzyskane przez to ciało jest

 

.

 

Gdyby Słońce miało promień , to w odległości od jego środka siła działająca na masy byłaby równa

 

.

Dla

,

 

co odpowiada prędkości liniowej w odległości od osi obrotu

 

,

 

siła działająca na masy jest równa

 

,

 

a przyspieszenie tego elementu

 

.

 

Takie siły działają na masę , pozostającą w spoczynku, w układzie współrzędnych w którym wiruje kula. Po pewnym czasie cząstki materii lub przestrzeni zaczynają obiegać kulę, zmniejszając swoją prędkość względem jej powierzchni i wówczas wartość siły i przyspieszenia maleje.

 

Rys. 5.5.4.

 

Jeżeli w pobliżu wirującej kuli umieścimy drugą, początkowo nieruchomą, to działa na nią siła , prostopadła do odcinka , która powoduje obieganie pierwszej kuli przez drugą (o ile to jest możliwe) w kierunku zgodnym z obrotem pierwszej kuli. Ponadto druga kula zacznie wirować w przeciwną stronę niż pierwsza. Te efekty powinny być widoczne dla bardzo masywnej kuli wirującej z dostatecznie dużą prędkością.

Jeżeli dwa masywne ciała obiegają się nawzajem, to ich moment pędu zmniejsza się wskutek ich oddziaływania z cząstkami przestrzeni. Powoduje to, że zbliżają się do siebie poruszając się po coraz ciaśniejszych orbitach.

© Copyright 2009-2017 by Ryszard Wałek