5.2. Ruch planety dookoła Słońca

Pierwszy sposób wyznaczania orbity planety.

Dla obserwatora , znajdującego się daleko od Słońca, planety i innych ciał materialnych, masa planety i tempo upływu czasu zależą od miejsca przestrzeni, w którym te wielkości są mierzone. Ruch planety dookoła Słońca jest swobodnym spadkiem jednego ciała na drugie wobec tego dla obserwatora ich masy pozostają stałe. Pędy tych ciał zmieniają się w zależności od odległości między nimi. Ruch planety wyznacza obserwator w układzie . Dla uproszczenia zapisu układ został przesunięty tak, że pokrywa się z układem . Stąd jednostki długości na osiach układu są takie same jak dla układu . Niech i oznaczają odpowiednio masę grawitacyjną planety i masę Słońca , mierzone przez obserwatora . Masa bezwładna planety

 

,

gdzie

.

 

Ruch planety jest jej swobodnym spadkiem na Słońce, dlatego .

Prędkość planety jest stosunkowo niewielka i możemy przyjąć .

Dla planety Merkury . Dla pozostałych planet jest jeszcze bliższa liczbie jeden.

Rys. 5.2.1.

Równanie ruchu planety w układzie , ma postać (patrz 3.4.)

 

.

 

Współczynnik

i

.

 

Ponieważ jest dla planety wielkością stałą, więc równanie ma postać

 

 

 

Współczynnik jest bardzo bliski jeden. W dalszym ciągu przyjmuję .

 

 

Dla uproszczenia zapisu zamiast , , , będę pisał odpowiednio , , , .

 

 

 

 

We współrzędnych kartezjańskich ruch planety dookoła Słońca wyznacza rozwiązanie , układu równań różniczkowych.

 

 

Po pomnożeniu pierwszego równania przez oraz drugiego przez i dodaniu stronami otrzymujemy równanie.

 

 

 

We współrzędnych biegunowych , .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Stała jest w przybliżeniu podwojoną prędkością polową planety.

 

Układ równań

 

 

mnożymy odpowiednio przez oraz i dodajemy stronami.

 

 

 

Dla współrzędnych biegunowych

 

oraz

.

 

Wprowadźmy oznaczenie

.

 

 

 

 

Otrzymujemy równanie liniowe

.

 

Rozwiązujemy równanie jednorodne

 

.

 

 

 

 

Uzmienniamy stałą i rozwiązujemy równanie liniowe niejednorodne.

 

 

 

 

 

 

 

Pomijam wyraz

i następne, jako bardzo małe.

 

 

 

Rozwiązanie ma postać

 

.

 

 

 

 

 

 

 

Podstawmy

,

 

.

 

 

 

Odpowiednie równanie w teorii Newtona ma postać

 

.

 

 

Oznaczmy

.

 

Dla orbity newtonowskiej .

 

 

Szukam rozwiązania tego równania w postaci .

 

 

 

 

 

Funkcja jest rozwiązaniem równania

 

,

 

jeżeli są spełnione następujące warunki

 

i

.

 

Rozwiązując układ otrzymujemy

 

i

.

 

 

 

 

Oznaczmy

i

.

Wówczas

 

.

 

Kolejne minima funkcji będą w odstępie takim, że .

 

 

 

 

Obliczone przesunięcie peryhelium planety .

 

Rzeczywista orbita planety niewiele odbiega od orbity obliczonej na podstawie prawa Newtona. Z III prawa Keplera

 

i wzoru na pole elipsy

otrzymujemy

,

gdzie

 

jest kwadratem prędkości polowej, dużą półosią natomiast mimośrodem elipsy. Kwadrat podwojonej prędkości polowej .

 

 

 

 

Merkury

Wenus

Ziemia

obs.

astr

 

 

 

 

Obliczone przesunięcia peryhelium są zgodne z wartościami uzyskanymi z obserwacji astronomicznych i są takie same jak w OTW.

Prędkość polowa planety nie jest stała. Określa ją wartość wyrażenia

 

,

 

gdzie jest wartością stałą. Prędkość polowa planety w niewielkim stopniu zależy od jej odległości od Słońca.

Różnica prędkości polowej dla aphelium i peryhelium jest równa

 

.

 

Ponieważ

oraz

są bliskie zera, więc

 

.

 

 

Dla planety Merkury

,

 

i

.

 

Obliczone równanie orbity planety ma postać

 

i

.

 

 

Dla orbity newtonowskiej mamy

.

 

 

Drugi sposób wyznaczania orbity planety.

Energia kinetyczna planety jest określona wzorem

 

.

 

 

 

.

 

Energię potencjalną określam wzorem

 

 

.

 

.

Lagrangian ma postać

 

.

 

 

 

 

 

 

 

Równania Lagrangea

 

mają postać

 

 

 

Równania mnożymy odpowiednio przez i i dodajemy stronami.

 

 

 

 

 

 

 

 

We współrzędnych biegunowych , .

 

 

 

 

 

Stała jest w przybliżeniu podwojoną prędkością polową planety.

Równania Lagrangea mnożymy odpowiednio przez i i dodajemy stronami.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Oznaczmy . Dla współrzędnych biegunowych

 

oraz

.

 

 

Rozwiązujemy równanie jednorodne

 

.

 

 

 

 

Uzmienniamy stałą i rozwiązujemy równanie liniowe niejednorodne.

 

 

 

 

 

 

 

 

Rozwiązanie ma postać

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Podstawmy

,

 

.

 

 

 

 

 

 

Wartość jest bliska zera.

 

 

Otrzymaliśmy takie samo równanie jak w pierwszym przypadku.

Jednak prędkość polowa planety nie jest stała i jest określona innym wzorem niż w pierwszym przypadku. Określa ją wartość wyrażenia

 

 

,

 

gdzie jest wartością stałą. Prędkość polowa planety w niewielkim stopniu zależy od jej odległości od Słońca.

Różnica prędkości polowej dla aphelium i peryhelium jest równa

 

.

 

Ponieważ

oraz

są bliskie zera, więc

 

.

 

 

Dla planety Merkury

,

 

i

.

© Copyright 2009-2017 by Ryszard Wałek