3.2. Siła grawitacji działająca na punkt materialny znajdujący się na zewnątrz materialnej kuli

Weźmy jednorodną materialną kulę o gęstości , objętości , masie , promieniu i środku . W odległości od środka kuli umieśćmy punkt materialny o masie (). Zakładam, że masa punktu materialnego jest bardzo mała w stosunku do masy kuli, kula i punkt materialny są w spoczynku w układzie oraz że punkt materialny i kula znajdują się w bardzo dużej odległości od innych ciał materialnych. Masy, odległość i czas są mierzone przez obserwatora znajdującego się blisko punktu materialnego . Układ nie jest układem inercjalnym.

Bez obecności kuli suma pędów przekazanych punktowi materialnemu przez grawitony z nim oddziałujące, w czasie , byłaby wektorem zerowym. Z punktem materialnym , w czasie , ze względu na obecność kuli oddziałuje mniej grawitonów od strony kuli niż ze strony przeciwnej. Suma pędów przekazanych przez grawitony oddziałujące z punktem jest wektorem niezerowym skierowanym do środka kuli.

Rys. 3.2.1.

Weźmy pierścień kołowy utworzony przez obrót prostokąta dookoła osi . Objętość tego pierścienia jest równa

 

a jego masa

.

 

Obecność materii w pierścieniu powoduje, że punktowi materialnemu nie zostanie przekazany, w czasie , pęd . Wobec tego pęd przekazany punktowi materialnemu przez grawitony z nim oddziałujące jest równy i skierowany w stronę środka kuli.

Podzielmy pierścień na parzystą ilość małych elementów mających równe objętości i masy.

 

Rys. 3.2.2.

Pęd przekazany do punktu materialnego, ze względu na obecność materii o masie w elemencie jest równy

 

,

gdzie

 

jest wektorem jednostkowym o zwrocie od punktu do i punkt należy do elementu . Do każdego elementu istnieje element tego pierścienia o takiej samej objętości i masie, do którego należy punkt , przy czym

 

 

.

 

Pęd przekazany do punktu materialnego, ze względu na obecność materii o masie w elemencie jest równy

 

,

gdzie

 

jest wektorem jednostkowym o zwrocie od punktu do .

Pęd przekazany do punktu materialnego ze względu na obecność materii w obydwu elementach jest równy

 

 

 

 

Pęd przekazany do punktu materialnego, ze względu na materię zawartą we wszystkich elementach pierścienia, jest równy

 

,

 

gdzie jest odpowiednim punk­tem pierścienia.

Wektor ma zwrot od punktu materialnego do środka kuli, a jego wartość liczbowa jest równa

 

.

 

Wprowadźmy chwilowe oznaczenie

 

.

 

 

Wartość liczbowa całkowitego pędu przekazanego punktowi materialnemu ze względu na obecność kuli jest równa

 

.

 

 

 

 

Do całki zastosujmy podstawienie

 

,

 

,

 

,

 

.

 

Górną granicę całkowania należy zmienić na

 

a dolną na

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ze względu na obecność kuli punktowi materialnemu został przekazany pęd . Na punkt materialny działa siła określona wzorem

 

.

 

dla

i

.

 

Na punkt materialny działa siła wprost proporcjonalna do iloczynu mas grawitacyjnych i punktu materialnego i kuli oraz odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości od środka kuli. Zwrot tej siły jest zgodny ze zwrotem wektora . Efekt jest taki jak gdyby kula “przyciągała” punkt materialny. Wyprowadzony wzór jest analogiczny do wzoru określającego prawo powszechnej grawitacji Newtona. Porównując otrzymany wzór dla siły ze wzorem dla prawa powszechnej grawitacji Newtona

 

otrzymujemy zależność

 

,

 

dla obserwatora .

Kula znajdująca się w pewnej odległości od punktu materialnego powoduje zmianę ilości grawitonów oddziałujących z punktem materialnym. Podobnie, na podstawie Założenia 8, obecność punktu materialnego powoduje zmianę ilości grawitonów oddziałujących z kulą od strony punktu materialnego. Siła działająca na kulę, wynikająca z obecnością punktu materialnego, jest wektorem przeciwnym do siły działającej na punkt materialny.

Siła „wzajemnego przyciągania” punktu materialnego i jednorodnej kuli o masach grawitacyjnych i , umieszczonych w odległości między ich środkami, jest wprost proporcjonalna do iloczynu mas grawitacyjnych tych ciał i odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości między ich środkami.

Jeżeli przyjmiemy, że odległość między punktem materialnym i środkiem kuli jest równa odległości według współrzędnych, to siła działająca na punkt materialny nie zależy od objętości kuli, ale od jej masy.

Siła grawitacji działająca na punkt materialny jest wynikiem jego oddziaływania z przestrzenią i materią znajdującą się w kuli oddziaływania grawitacyjnego, za pośrednictwem grawitonów.

Rys. 3.2.3.

Płaszczyzna przechodząca przez punkt i prostopadła do wektora (jak na Rys. 3.2.3.) dzieli przestrzeń na dwie półprzestrzenie. Przez oznaczmy tą półprzestrzeń, w której znajduje się wektor , a przez pozostałą półprzestrzeń. (jest tą półprzestrzenią, w której znajduje się kula o środku ).

Wniosek II.

Siła grawitacji działająca na punkt materialny jest skutkiem tego, że z punktem materialnym oddziałuje więcej grawitonów z półprzestrzeni niż z . Siła ta jest wprost proporcjonalna do masy grawitacyjnej tego punktu materialnego. Siła grawitacji, jak również siła bezwładności, działająca na punkt materialny jest wynikiem braku symetrii oddziaływania tego punktu materialnego z cząstkami przestrzeni i materii, zawartymi w kuli oddziaływania grawitacyjnego.

Masa grawitacyjna ciała wynika z istnienia siły „przyciągania” działającej między ciałami. Masa bezwładna wynika z istnienia siły bezwładności działającej na ciało poruszające się ruchem zmiennym.

Masa grawitacyjna jak również masa bezwładna ciała są konsekwencją oddziaływania tego ciała z przestrzenią i materią całego Wszechświata zawartą w kuli oddziaływania grawitacyjnego, za pośrednictwem grawitonów.

Dla obserwatora , siła „przyciągania” działająca między ciałami o masach i znajdującymi się w odległości , jest określona wzorem

 

.

Dla obserwatora mamy

 

i

.

 

 

Siła grawitacji jest zmierzona przez obserwatora . Według tego obserwatora wartość tej siły dla obserwatora w miejscu jest równa

 

.

 

Jeżeli siłę grawitacji zmierzy obserwator , to otrzyma wartość

 

.

 

Wartości , i są mierzone przez tego obserwatora. Stała grawitacji jest taka sama dla każdego obserwatora. ma w ostatnim wzorze inne znaczenie niż we wzorze poprzednim. Dla obserwatora siła grawitacji w miejscu gdzie znajduje się obserwator jest równa

 

.

 

 

Weźmy kulę o masie , środku i promieniu zachowującą się tak jak elementarna cząstka, to znaczy emitującą i absorbującą grawitony tylko na powierzchni. Punkt materialny (cząstka elementarna) o masie znajduje się w punkcie , na powierzchni kuli. Obserwator znajduje się blisko punktu materialnego.

Rys. 3.2.4.

Kąt bryłowy określony przez kąt ma miarę

 

;

 

kąt pełny ma miarę . Do punktu materialnego nie dochodzą grawitony z półprzestrzeni, w której znajduje się kula, ograniczonej płaszczyzną styczną do kuli w punkcie . Bez obecności kuli punkt materialny o masie absorbuje, w czasie , energię określoną wzorem (patrz 1.6.)

 

i

.

Stąd otrzymujemy

i

.

 

Z kąta bryłowego określonego przez kąt do punktu materialnego nie dochodzi energia

 

 

.

 

Dla mamy odpowiednio

 

.

 

Ilość energii, która w czasie , nie dochodzi do punktu materialnego z kąta bryłowego określonego przez , z którego wycięto kąt bryłowy określony przez , jest równa .

 

 

 

 

Pęd, który nie zostanie przekazany do punktu materialnego, w czasie , jest równy

 

 

 

a jego składowa równoległa do prostej jest równa

 

.

 

 

Całkowity pęd, który nie zostanie przekazany do punktu materialnego, jest równy

 

 

.

 

 

 

(patrz 1.7.)

 

 

 

 

Siła działająca na punkt materialny jest

 

,

 

nie zależy od masy kuli i jest największą siłą działającą na ciało o masie . Dla bardzo dużych wartości gęstości kuli, złożonej z ele­mentarnych cząstek, siła działająca na punkt materialny, znajdujący się na powierzchni tej kuli, jest niewiele mniejsza od .

Weźmy punkt materialny o masie znajdujący się na powierzchni kuli o masie i promieniu . Dla obserwatora , związanego z punktem materialnym, masa punktu materialnego jest zmniejszona o

 

.

 

Ponieważ masa punktu materialnego może się zmniejszyć, co najwyżej do połowy, (do punktu materialnego nie dochodzi połowa grawitonów od strony kuli), więc

,

 

.

 

 

Jeżeli promień materialnej kuli jest równy

 

,

 

o ile taka wartość promienia jest możliwa dla kuli o masie , to na punkt materialny znajdujący się na powierzchni kuli działa największa siła , niezależna od masy kuli.

Gęstość materii kuli o promieniu jest równa

 

.

 

Dla Słońca

,

 

.

 

Gdyby , to wtedy . Dla Słońca taka wartość gęstości jest niemożliwa. Słońce może się jedynie przekształcić w białego karła o znacznie mniejszej gęstości.

Jeżeli punkt materialny o masie znajduje się na powierzchni kuli o masie i promieniu

,

 

to według prawa powszechnej grawitacji działa na niego siła

 

.

 

Kula w tym przypadku jest podobna do cząstki elementarnej, masa takiej kuli jest proporcjonalna do jej powierzchni i jest określona wzorem

 

.

 

Masa kuli jest

i

.

 

Siła obliczona według wzoru Newtona jest dwa razy mniejsza od siły . Prawo Newtona nie jest prawdziwe w tym przypadku.

Jeżeli , to między kulą i punktem materialnym nie działają siły „przyciągania” grawitacyjnego.

© Copyright 2009-2017 by Ryszard Wałek