2.2. Zmiana tempa upływu czasu i prędkości światła w polu grawitacyjnym

Weźmy materialną kulę o środku w punkcie i promieniu oraz punkt materialny , w odległości od punktu . Blisko punktu materialnego znajduje się obserwator . Daleko od kuli, punktu materialnego i innych ciał znajduje się obserwator pozostający w spoczynku względem . Obserwator może być w dowolnym, ustalonym miejscu przestrzeni. Masy punktu materialnego są równe , i odpowiednio dla , i . Masa kuli jest bardzo duża w stosunku do masy punktu materialnego i jest równa dla obserwatora .

Rys. 2.2.1.

Prostokątny układ współrzędnych nie jest układem inercjalnym. Obserwatorzy i mierzą czas własnymi zegarami i . Zegary i początkowo znajdowały się obok siebie, były identycznie wykonane i tak samo odmierzały jednostki czasu. Każdy obserwator używający swojego zegara otrzyma taką samą wartość liczbową prędkości światła, jeżeli pomiar wykonuje w swoim bliskim otoczeniu.

Dla masa punktu materialnego jest

 

.

 

Masa punktu materialnego dla jest równa

 

i

.

 

Wówczas

,

 

.

 

 

Jeżeli dla obserwatora jego własny zegar odmierzy jednostek czasu między dwoma zjawiskami, to dla obserwatora , według jego zegara , upłynie

 

 

jednostek czasu między tymi samymi zdarzeniami. Zegar obserwatora według obserwatora tyka wolniej niż jego własny.

W OTW zależność między tempem upływu czasu, dla obserwatorów i , w statycznym polu grawitacyjnym wytworzonym przez kulę o masie i promieniu , określa wzór

 

,

 

sprawdzony doświadczalnie.

W tej teorii ta zależność jest określona wzorem

.

 

Obserwator znajduje się w od­ległości od środka kuli, natomiast jest daleko od kuli i innych ciał materialnych.

Współczynnik

 

,

natomiast

.

 

Jeżeli

 

jest bliskie zera, to w przybliżeniu mamy równość

 

i

.

 

Porównując ostatni wzór z odpowiednim wzorem z OTW otrzymujemy

 

.

 

Dla , takie efekty jak, ugięcie światła w polu grawitacyjnym, przesunięcie peryhelium planety czy zmiana energii fotonu w polu grawitacyjnym są zgodne z wynikami obserwacji astronomicznych i doświadczeniem.

 

 

 

Jeżeli za jednostkę długości przyjąć

i

,

to

 

.

 

Wartości tych współczynników dla niektórych wartości są przedstawione w następującej tabeli.

 

100000

0,999990

0,999990

0

0%

10000

0,999900

0,999900

0

0%

1000

0,999001

0,998999

0,000002

0,0002%

100

0,990099

0,989949

0,00015

0,015%

10

0,909091

0,894427

0,0147

1,61%

5

0,833333

0,774597

0,0587

7,05%

4

0,800000

0,707107

0,0929

11,61%

3

0,750000

0,577350

0,1727

23,02%

2

0,666667

0

0,6667

100%

1

0,500000

-

-

-

 

Dane z tabeli mają sens dla promienia kuli spełniającego warunek . Dla współczynnik . Różnice między i są niewielkie dla . Dla według OTW , natomiast w tej teorii grawitacji . Dla , traci sens, natomiast i . Tempo upływu czasu może się zmniejszyć najwyżej do połowy. Dla promienia Słońca mamy .

Niech foton przebiegnie odległość między dwoma punktami znajdującymi się blisko obserwatora w czasie i odpowiednio dla i . Droga przebyta przez foton, dla obserwatora , jest równa

 

i odpowiednio

 

dla . Ponieważ z Założenia 9 wynika, że

oraz

,

więc

.

 

 

Prędkość tego fotonu dla obserwatora jest równa

.

 

 

 

Prędkość światła w punkcie dla obserwatora jest równa

 

,

 

gdzie jest prędkością światła zmierzoną przez obserwatora.

Wartość jest również prędkością światła zmierzoną przez obserwatora , gdy dokonuje on pomiaru blisko siebie. Natomiast dla prędkość światła w pobliżu punktu jest mniejsza niż .

Dla foton zbliżający się do materialnej kuli zmniejsza swoją prędkość. Prędkość światła ma taką samą wartość dla każdego obserwatora tylko lokalnie, gdy obserwator dokonuje jej pomiaru blisko siebie.

Jeżeli materialna cząstka, znajdująca się blisko obserwatora , przebędzie odległość i , w czasie i z prędkością i odpowiednio dla i , to jej szybkość

 

 

.

 

Rys. 2.2.2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Jeżeli stosunek

 

jest mały, to z dobrym przybliżeniem

 

.

 

                                          

 

 

Dla każdego obserwatora można określić współczynnik wyznaczony dla miejsca gdzie znajduje się obserwator. Dla , i mamy odpowiednio , i . Dla obserwatora znajdującego się daleko od kuli .

Dla obserwatorów i masy punktu materialnego są odpowiednio i (obserwator znajduje się blisko punktu materialnego).

Dla obserwatora znajdującego się w dowolnym ustalonym miejscu masa tego punktu materialnego jest

 

.

 

Jeżeli jest blisko , to

i

.

 

Jeżeli jest blisko , to

 

i

.

 

                                          

 

Analogicznie dla odstęp czasu

.

 

Odstęp czasu jest mierzony bezpośrednio przez obserwatora .

 

                                          

 

Jeżeli odcinek znajdujący się blisko ma długość , to

 

                                           .

 

Jeżeli dla obserwatora odległość między odległymi punktami jest , to dla odległość między tymi punktami jest

 

i dla

.

 

Dla przyspieszenia mamy zależność

.

 

                                          

 

Siła

.

 

                                          

 

Pęd

.

 

                                          

 

Zmiana pędu

.

 

                                          

 

Praca

 

                                          

 

Energia

.

 

                                          

 

Stała grawitacji G i stała Plancka h mają taką samą wartość dla każdego obserwatora i w każdym miejscu.

Wartości wielkości fizycznych mogą być mierzone przez obserwatora lub przy pomocy odpowiedniego układu jednostek.

 

Pomiar wykonany przez obserwatora , w układzie jednostek tego obserwatora, w miejscu gdzie znajduje się obserwator

Odpowiedna wartość tego pomiaru, obliczona przez obserwatora , dla miejsca gdzie znajduje się obserwator

 

W powyższej tabeli wartości , , , , , , , , , mają inne znaczenie niż , , , , , , , , , w następnej tabeli.

W pierwszej kolumnie dla obydwu tabel znajdują się wartości zmierzone odpowiednio przez obserwatorów i . W drugiej, w obydwu tabelach, odpowiedna wartość tego pomiaru, obliczona przez obserwatora , dla miejsca gdzie znajduje się obserwator .

W pierwszej tabeli obserwator oblicza odpowiednie wartości przy pomocy układu jednostek obserwatora , natomiast w drugiej tabeli przy pomocy własnego układu jednostek.

 

Pomiar wykonany przez obserwatora , w układzie jednostek tego obserwatora, w miejscu gdzie znajduje się obserwator

Odpowiedna wartość tego pomiaru, obliczona przez obserwatora , dla miejsca gdzie znajduje się obserwator

 

Dla różnych obserwatorów układy jednostek są różne, dlatego w dalszym ciągu będę na ogół używał jednostek obserwatora .

© Copyright 2009-2017 by Ryszard Wałek